Archive for July 4th, 2011

Algoritma Knapsack-Kriptografi

Monday, July 4th, 2011

Algoritma Knapsack

Algoritma ini didasarkan pada persoalan 1/0 Knapsack Problem yang berbunyi:

 Diberikan bobot knapsack adalah M. Diketahui n buah objek yang masing-masing bobotnya adalah w1, w2, …, wn. Tentukan nilai bi sedemikian sehingga

M = b1w1 + b2w2 + … + bnwn (1)

yang dalam hal ini, bi bernilai 0 atau 1. Jika bi = 1, berarti objek i dimasukkan ke dalam knapsack, sebaliknya jika bi = 0, objek i tidak dimasukkan.

Dalam teori algoritma, persoalan knapsack termasuk ke dalam kelompok NP-complete. Persoalan yang termasuk NP-complete tidak dapat dipecahkan dalam orde waktu polinomial.

Ide dasar dari algoritma knapsack adalah mengkodekan pesan sebagai rangkaian solusi dari dari persoalan knapsack. Setiap bobot wi di dalam persoalan knapsack merupakan kunci rahasia, sedangkan bit-bit plainteks menyatakan bi.

Contoh 1:  Misalkan n = 6 dan w1 = 1, w2 = 5, w3 = 6,

w4 = 11, w5 = 14, dan w6 = 20.

Plainteks: 111001010110000000011000

Plainteks dibagi menjadi blok yang panjangnya n, kemudian setiap bit di dalam blok dikalikan dengan wi yang berkorepsonden sesuai dengan persamaan (1):

Blok plainteks ke-1     : 111001

Knapsack : 1, 5, 6, 11, 14, 20

Kriptogram                   : (1 ´ 1) + (1 ´ 5) + (1 ´ 6) + (1 ´ 20)

= 32

Blok plainteks ke-2     : 010110

Knapsack : 1, 5, 6, 11, 14, 20

Kriptogram                   : (1 ´ 5) + (1 ´ 11) + (1 ´ 14) = 30

Blok plainteks ke-3     : 000000

Knapsack : 1, 5, 6, 11, 14, 20

Kriptogram                   : 0

Blok plainteks ke-4     : 011000

Knapsack : 1, 5, 6, 11, 14, 20

Kriptogram                   : (1 ´ 5) + (1 ´ 6) = 11

Jadi, cipherteks yang dihasilkan:  32  30  0  11

Sayangnya, algoritma knapsack sederhana di atas hanya dapat digunakan untuk enkripsi, tetapi tidak dirancang untuk dekripsi. Misalnya, jika diberikan kriptogram = 32, maka tentukan b1, b2, …, b6 sedemikian sehingga

32= b1 + 5b2 + 6b3 + 11b4 + 14b5 + 20b6 (2)

Solusi persamaan (2) ini tidak dapat dipecahkan dalam orde waktu polinomial dengan semakin besarnya n (dengan catatan barisan bobot tidak dalam urutan menaik). Namun, hal inilah yang dijadikan sebagai kekuatan  algoritma knapsack.

Superincreasing Knapsack

  • Superincreasing knapsack adalah persoalan knapsack yang dapat dipecahkan dalam orde O(n) (jadi, polinomial). Ini adalah persoalan knapsack yang mudah sehingga tidak disukai untuk dijadikan sebagai algoritma kriptografi yang kuat.
  • Jika senarai bobot disebut barisan superincreasing, maka kita dapat membentuk superincreasing knapsack. Barisan superincreasing adalah suatu barisan di mana setiap nilai  di dalam barisan lebih besar daripada jumlah semua nilai  sebelumnya. Misalnya {1, 3, 6, 13, 27, 52} adalah barisan superincreasing, tetapi {1, 3, 4, 9, 15, 25} bukan.
  • Solusi dari superincreasing knapsack (yaitu b1, b2, …, bn) mudah dicari sebagai berikut (berarti sama dengan mendekripsikan cipherteks mnejadi plainteks semula):
  • Jumlahkan semua bobot di dalam barisan.
    1. Bandingkan bobot total dengan bobot terbesar di dalam barisan. Jika bobot terbesar lebih kecil atau sama dengan bobot total, maka ia dimasukkan ke dalam knapsack, jika tidak, maka ia tidak dimasukkan.
    2. Kurangi bobot total dengan bobot yang telah dimasukkan, kemudian bandingkan bobot total sekarang dengan bobot terbesar selanjutnya. Demikian seterusnya sampai seluruh bobot di dalam barisan selesai dibandingkan.
    3. Jika bobot total menjadi nol, maka terdapat solusi persoalan superincreasing knapsack , tetapi jika tidak nol, maka tidak ada solusinya.

Contoh 2: Misalkan bobot-bobot yang membentuk barisan superincreasing adalah {2, 3, 6, 13, 27, 52}, dan diketahui bobot knapsack (M) = 70. Kita akan mencari b1, b2, …, b6 sedemikian sehingga

70= 2b1 + 3b2 + 6b3 + 13b4 + 27b5 + 52b6

Caranya sebagai berikut:

  1. Bandingkan 70 dengan bobot terbesar, yaitu 52. Karena 52 £ 70, maka 52 dimasukkan ke dalam knapsack.
  2. Bobot total sekarang menjadi 70 – 52 = 18. Bandingkan 18 dengan bobot terbesar kedua, yaitu 27. Karena 27 > 18, maka 27 tidak dimasukkan ke dalam knapsack.
  3. Bandingkan 18 dengan bobot terbesar berikutnya, yaitu 13. Karena 13 £ 18, maka 13 dimasukkan ke dalam knapsack.
    Bobot total sekarang menjadi 18 – 13 = 5.
  4. Bandingkan 5 dengan bobot terbesar kedua, yaitu 6. Karena 6 > 5, maka 6 tidak dimasukkan ke dalam knapsack.
  5. Bandingkan 5 dengan bobot terbesar berikutnya, yaitu 3.  Karena 3 £ 5, maka 3 dimasukkan ke dalam knapsack.
  6. Bobot total sekarang menjadi 5 – 3 = 2.
  7. Bandingkan 2 dengan bobot terbesar berikutnya, yaitu 2. Karena 2 £ 2, maka 2 dimasukkan ke dalam knapsack.
  8. Bobot total sekarang menjadi 2 – 2 = 0.

Karena bobot total tersisa = 0, maka solusi persoalan superincreasing knapsack ditemukan. Barisan bobot yang dimasukkan ke dalam knapsack adalah  {2, 3, – , 13, – , 52}

sehingga

70 = (1 ´ 2) + (1 ´ 3) + (0 ´ 6) + (1 ´ 13) + (0 ´ 27) + (1 ´ 52)

Dengan kata lain, plainteks dari kriptogram 70 adalah 110101.

Algoritma Knapsack Kunci-Publik

  • Algoritma superincreasing knapsack adalah algoritma yang lemah, karena cipherteks dapat didekripsi menjadi plainteksnya secara mudah dalam waktu lanjar.
  • Algoritma non-superincreasing knapsack atau normal knapsack adalah kelompok algoritma knapsack yang sulit (dari segi komputasi) karena membutuhkan waktu dalam orde eksponensial untuk memecahkannya.
  • Namun, superincreasing knapsack dapat dimodifikasi menjadi non-superincreasing knapsack dengan menggunakan kunci publik (untuk enkripsi) dan kunci rahasia (untuk dekripsi). Kunci publik merupakan barisan non-superincreasing sedangkan kunci rahasia tetap merupakan barisan superincreasing. Modifikasi ini ditemukan oleh Martin Hellman dan Ralph Merkle.
  • Cara membuat kunci publik dan kunci rahasia:
  1. Tentukan barisan superincreasing.
    1. Kalikan setiap elemen di dalam barisan tersebut dengan n modulo m. Modulus m seharusnya angka yang lebih besar daripada jumlah semua elemen di dalam barisan, sedangkan pengali n seharusnya tidak mempunyai faktor persekutuan dengan m.
    2. Hasil perkalian akan menjadi kunci publik sedangkan barisan superincreasing semula menjadi kunci rahasia.

 Contoh 3: Misalkan barisan superincreasing adalah {2, 3, 6, 13, 27, 52), m = 105, dan n = 31.

Barisan non-superincreasing (atau normal) knapsack dihitung sbb:

2 × 31 mod 105 = 62

3 × 31 mod 105 = 93

6 × 31 mod 105 = 81

13 × 31 mod 105 = 88

27 × 31 mod 105 = 102

52 × 31 mod 105 = 37

Jadi, kunci publik adalah {62, 93, 81, 88, 102, 37}, sedangkan kunci rahasia adalah {2, 3, 6, 13, 27, 52}.

Enkripsi

  • Enkripsi dilakukan dengan cara yang sama seperti algoritma knapsack sebelumnya.
  • Mula-mula plainteks dipecah menjadi blok bit yang panjangnya sama dengan kardinalitas barisan kunci publik.
  • Kalikan setiap bit di dalam blok dengan elemen yang berkoresponden di dalam kunci publik.

Contoh 4:  Misalkan

Plainteks: 011000110101101110

dan kunci publik yang digunakan seperti pada Contoh 3.

Plainteks dibagi menjadi blok yang panjangnya 6, kemudian setiap bit di dalam blok dikalikan dengan elemen yang berkorepsonden di dalam kunci publik:

Blok plainteks ke-1     : 011000

Kunci publik                : 62, 93, 81, 88, 102, 37

Kriptogram                   : (1 ´ 93) + (1 ´ 81)  = 174

Blok plainteks ke-2     : 110101

Kunci publik                : 62, 93, 81, 88, 102, 37

Kriptogram                   : (1 ´ 62) + (1 ´ 93) + (1 ´ 88) +

(1 ´ 37)  = 280

Blok plainteks ke-3     : 101110

Kunci publik                : 62, 93, 81, 88, 102, 37

Kriptogram                   : (1 ´ 62) + (1 ´ 81) + (1 ´ 88) +

(1 ´ 102)  = 333

Jadi, cipherteks yang dihasilkan : 174, 280, 333

Dekripsi

  • Dekripsi dilakukan dengan menggunakan kunci rahasia.
  • Mula-mula penerima pesan menghitung n–1 , yaitu balikan n modulo m, sedemikian sehingga n × n–1 º 1 (mod m).  Kekongruenan ini dapat dihitung dengan cara yang sederhana sebagai berikut (disamping dengan cara yang sudah pernah diberikan pada Teori Bilangan Bulat):

n × n–1 º 1 (mod m)

Û     n × n–1 = 1 + km

Û     n–1 = (1 + km)/n , k sembarang bilangan bulat

·       Kalikan setiap kriptogram dengan n–1 mod m, lalu nyatakan hasil kalinya sebagai penjumlahan elemen-elemen kunci rahasia  untuk memperoleh plainteks  dengan menggunakan algoritma pencarian solusi superincreasing knapsack.

Contoh 5:  Kita akan mendekripsikan cipherteks dari Contoh 4 dengan menggunakan kunci rahasia  {2, 3, 6, 13, 27, 52}. Di sini, n = 31 dan m = 105. Nilai n–1 diperoleh sbb:

n–1 = (1 + 105k)/31

Dengan mencoba k = 0, 1, 2, …, maka untuk k = 18 diperoleh n–1 bilangan bulat, yaitu

n–1 = (1 + 105 × 18)/31          = 61

Cipherteks dari Contoh 4 adalah 174, 280, 222. Plainteks yang berkoresponden diperoleh kembali sebagai berikut:

174 × 61 mod 105 = 9 = 3 + 6, berkoresponden dengan 011000

280 × 61 mod 105 = 70 = 2 + 3 + 13 + 52, berkoresponden dengan 011000

333 × 61 mod 105 = 48 = 2 + 6 + 13 + 27, berkoresponden dengan 101110

Jadi, plainteks yang dihasilkan kembali adalah:

011000 011000 101110

Implementasi Knapsack

  • Ukuran cipherteks yang dihasilkan lebih besar daripada plainteksnya, karena enkripsi dapat menghasilkan kriptogram yang nilai desimalnya lebih besar daripada nilai desimal blok plainteks yang dienkripsikan.
  • Untuk menambah kekuatan algoritma knapsack, kunci publik maupun kunci rahasia seharusnya paling sedikit 250 elemen, nilai setiap elemen antara 200 sampai 400 bit panjangnya, nilai modulus antara 100 sampai 200 bit.
  • Dengan nilai-nilai knapsack sepanjang itu, dibutuhkan 1046 tahun untuk menemukan kunci secara brute force, dengan asumsi satu juta percobaan setiap detik.

Keamanan Knapsack

  • Sayangnya, algoritma knapsack dinyatakan sudah tidak aman, karena knapsack dapat dipecahkan oleh pasangan  kriptografer  Shamir dan Zippel. Mereka merumuskan transformasi yang memungkinkan mereka merekonstruksi superincreasing knapsack dari normal knapsack.

Sumber : Rinaldi Munir/IF-ITB dan berbagai sumber